طرح درس:
در این درس، فرمولی برای مساحت ذوزنقه به دست خواهد آمد.
اهداف:
برای شروع، به دانش آموزان فرصت دهید تا مساحت ذوزنقه ها را تخیمن بزنند. آنها می توانند در هر گروه، کاغذ سانتی متری شفاف را روی ذوزنقه های موجود در برگه فعالیت"ذوزنقه ها" قرار دهند و مساحت کل آنها را بر حسب سانتی متر مربع حدس بزنند. (اگر امکان تهیه برگه سانتی متری شفاف را ندارید، می توانید برگه مدرج را روی کاغذ نازک تکثیر کنید.) در ادامه درس، دانش آموزان با اندازه گیری و استفاده از یک فرمول، مساحت ذوزنقه را محاسبه خواهند کرد و پاسخ خود را با تخمینی که در این قسمت داشته اند مقایسه می کنند.
برای قسمت اصلی درس، دانش آموزان باید در گروه های سه نفره کار کنند و همه آنها باید در گروه فعالیت کنند، ولی می توانید کارها را به صورت زیر تقسیم کنید:
این تقسیم وظایف مهم است، زیرا باعث می شود همه دانش آموزان در گروه پاسخگو باشند. هر دانش آموز باید به طور فعال در کار گروهی شرکت کند و هیچ کدام هم ناچار نیست تمام کار را به تنهایی انجام دهد.
وقتی که دانش آموزان گروه بندی شدند، یک ذوزنقه متعارف، مانند تصویر زیر را روی تخته کلاس بکشید یا با پروژکتور نمایش بدهید.
مهم ترین بخش این درس، یافتن فرمولی برای مساحت ذوزنقه است. پیش از آن، زمانی را برای اکتشاف به بچه ها بدهید. از آنها بخواهید تا روش هایی را برای پیدا کردن مساحت ذوزنقه بالا پیشنهاد کنند. برای برانگیختن آنها بپرسید: "از چه شکل هایی می توانید کمک بگیرید؟ آیا شکل هایی وجود دارند که قبلا روش به دست آوردن مساحت آنها را آموخته باشید؟". پس از این که دانش آموزان در هر گروه مدتی را به بحث روی پیشنهادها پرداختند، از مسئول گزارش چند تا از گروه ها بخواهید تا نتایج خود را برای کلاس اعلام کنند.
آنان ممکن است راه های مختلفی را پیشنهاد کنند. یک راه احتمالی تقسیم ذوزنقه به سه بخش- یک مستطیل و دو مثلث- است (مانند شکل زیر).
از دانش آموزان بخواهید تا با استفاده از هر روشی که تعیین می کنند، مساحت ذوزنقه ای را با قاعده های 24 سانتی متر و 10 سانتی متر و ساق های 15 و 13 سانتی متر به دست آورند.به همه گروه ها اجازه دهید تا مساحت را محاسبه کنند و اطمینان پیدا کنید که همه کلاس در مورد این که مساحت چیست، اتفاق نظر دارند.این مهم است که همه گروه ها مساحت را به درستی به دست آورند. در ادامه درس، دانش آموزان مساحتی را که در این قسمت پیدا کرده اند با مساحت مستطیل به وجود آمده از تقسیم ذوزنقه مقایسه می کنند.
راه دیگر این است که ذوزنقه را مانند شکل زیر با وصل کردن وسط دو ساق به یکدیگر تقسیم کنیم. اگر چه به کمک تجزیه ذوزنقه به صورت بالا، مساحت آن به دست می آید، ولی شکل زیر، به بچه ها نشان می دهد که چگونه هر ذوزنقه را می توان به یک مستطیل تبدیل کرد و آنها را به یافتن فرمول مساحت ذوزنقه هدایت می کند.
با جا به جا کردن دو مثلث از دو گوشه ذوزنقه و چرخاندن و انتقال آنها به قسمت بالای ذوزنقه،یک مستطیل به وجود می آید. اندازه خط وسط، برابر با میانگین طول دو قاعده است، دانستن این نکته مهم است و در اثبات فرمول مساحت از آن استفاده می شود. زیرا خط وسط برابر با طول مستطیل جدیدی است که به وجود می آید و با بیان آن به صورت 1/2(b1+b2)می توانیم به سرعت به فرمول مساحت برسیم. برای آن که مطمئن شوید این رابطه را متوجه می شوند، از آنها بپرسید "خط وسط چه رابطه ای با دو قاعده دارد؟" دانش آموزان ممکن است بگویند طول خط وسطی دقیقا "بین" طول دو قاعده است. یا به صورت دقیق تر، ممکن است برخی از آنها اشاره کنند که طول این خط برابر با میانگین طول دو قاعده است.
به دانش آموزان یادآوری کنید که مساحت مستطیل برابر با حاصل ضرب طول و عرض آن است.در مورد این مستطیل، طول برابر با 1/2(b1+b2)
و عرض آن هم برابر با ارتفاع h است. بنابراین مساحت مستطیل (و در نتیجه ذوزنقه) برابر می شود باA = ½h(b1 + b2) َ . این همان فرمول سنتی برای پیدا کردن مساحت ذوزنقه است.
بعد از این که این فرمول به اثبات رسید، دانش آموزان می توانند ابعاد مستطیل را اندازه بگیرند و مساحت آن را محاسبه کنند. از کلاس بپرسید "چه ارتباطی بین مساحت این مستطیل و مساحت ذوزنقه اصلی که در قسمت قبل حساب کردید وجود دارد؟" بعد از محاسبه مساحت مستطیل، باید به پاسخی برابر با پاسخ قبلی رسیده باشند. این مهم است که دانش آموزان بفهمند فقط شکل ها تغییر کرده اند، نه مساحت ها.
به دانش آموزان اجازه دهید تا در هر گروه، مساحت ذوزنقه های برگه فعالیت "ذوزنقه ها" را حساب کنند. در حین این فعالیت، به گروه ها سر بزنید و به آنها راهنمایی های لازم را بکنید. همچنین روش های موفق بچه ها را در محاسبه مساحت هر ذوزنقه یادداشت کنید و سعی کنید تا در یک بحث کلاسی این روش ها در اختیار همه قرار گیرند. بعد ازگذشت زمان کافی، افراد کلاس را جمع کنید و در مورد نتایج کار به بحث بپردازید.
برای جلوتر بردن بحث می توانید به شکل اولیه ذوزنقه برگردید و از روش های تجزیه دیگری برای اثبات فرمول مساحت استفاده کنید. اگر دانش آموزانتان در درس عبارت های جبری آمادگی دارند، دیدن روش های اثبات مختلف خیلی ارزشمند است.
به عنوان مثال اگر بچه ها پیشنهاد کرده بودند که ذوزنقه را به یک مستطیل و دو مثلث تقسیم کنیم، اجزای مختلف آن را مانند شکل زیر نامگذاری کنید و در باره آنها با دانش آموزان بحث کنید.
بنابراین اثبات فرمول مساحت به روش زیر صورت می گیرد:
b1×h = مساحت مستطیل
=½xhمساحت مثلث سمت چپ
مساحت مثلث سمت راست =½(b2 – b1 – x) × h = ½b2h – ½b1h – ½xh
و با جمع مساحت این سه قسمت، مساحت کل شکل را داریم:
A = b1h + ½xh + ½b2h – ½b1h – ½xh
A =½b1h + ½b2h
A =½(b1 + b2) h
که همان فرمولی است که پیش تر داشتیم.
ممکن است بخواهید روی فرمول مساحت ذوزنقه های خاص مانند قائم الزاویه و متساوی الساقین نیز کار کنید. اگر چه اثبات ها شبیه هستند، اما این فرصت های متعدد برای تعریف فرمول برای دانش آموزان سودمند است.
به علاوه دانش آموزان می توانند از فعالیت کامپیوتری "مساحت ذوزنقه ها" برای بررسی ارتباط بین ارتفاع و طول قاعده ها با مساحت استفاده کنند.
حالا به نتایج تخمین مساحت ذوزنقه ها در برگه فعالیت برگردید و از دانش آموزان بخواهید تا مساحت محاسبه شده را با تخمینی که زده بودند مقایسه کنند. پاسخ ها چه قدر به هم نزدیک هستند؟ آیا آنها توانسته اند مساحت ذوزنقه ها را با اختلافی در حدود یک سانتی متر مربع پیش بینی کنند؟
برای نتیجه گیری از درس و تمرین بیشتر، بچه ها را در گروه های دو نفره قرار دهید. هر دانش آموز باید یک ذوزنقه رسم کند و ابعاد آن را اندازه گرفته، مساحت آن را حساب کند. سپس در هر گروه ذوزنقه ها را معاوضه کنند و مساحت ذوزنقه جدید را محاسبه کنند و در مورد نتایج با هم بحث کنند.
پرسش هایی برای دانش آموزان:
پرسش هایی برای معلم:
توسعه:
ناحیه زیر یک نمودار سرعت_زمان برابر با کل مسافت طی شده است. همان طور که در تصویر زیر نشان داده شده است، نمودار یک سرعت فزاینده در ابتدا و سپس ادامه مسیر با یک سرعت ثابت، به شکل یک ذوزنقه خواهد بود. دانش آموزان می توانند با محاسبه مساحت ذوزنقه، کل مسافت طی شده را به دست آورند.
به دانش آموزان اجازه دهید از ماشین حساب نیز برای محاسبه سطح زیر نمودار کمک بگیرند.
